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1、系统数学描述的两种基本类型 这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整 体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制 装置或受控对象。文章中所研究的系统均假定具有若干输 入端和输出端，如图所示。 
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图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作 用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，二者分别用向量 和 表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时 刻所处状况的变量为系统内部变量，以 向量表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系 和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本类型。一种是系统 的外部描述，即输入－输出描述。 |
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系统描述的另一种类型是内部描述，即状态空间描述。这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常 由两个数学方程组成。一是反映系统内部变量  和输入变量 间因果关系的数学表达式， 常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一 个是表征系统内部变量 及变量 和输出变量 间转换关系的数学式，具有代数方程的形式，称为输出方程。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。 |
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2、系统描述中常用的基本概念 输入和输出：由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部量测到的来自系统的信息称为输出。 松弛性：若系统的输出  由输入 惟一确定，则称系统在时刻是松弛的。因果性：若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻和t之前的输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或因果关系（causal）。 线 性：一个松弛系统当且仅当对于任何输入U1和U2以及任何实数a均有 |
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则该系统称为线性的，否则称为非线性的。上面两式分别 称为可加性与齐次性。 本文来自www.eadianqi.com 时不变性（定常性）：一个松弛系统当且仅当对于任何输入u和任何实数a，均有  则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。式中 为位移算子。 |
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3、系统状态空间描述常用的基本概念 状态和状态变量：系统在时间域中的行为或运动信息 的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最小） 的变量称为状态变量。状态变量的选取不具有惟一性，同 一个系统可能有多种不同的状态变量选取方法。 状态变量常用符号  表示。状态向量：把描述系统状态的n个状态变量  看作向量x(t)的分量，即 则向量x(t)称为n维状态向量。 |
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状态空间：以n个状态量作为基底所组成的n维空间称为状态空间。 本文来自www.eadianqi.com 状态轨线：系统在任一时刻的状态，在状态空间中用 一点来表示，随着时间的推移，系统状态在变化，并在状 态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间 中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的 一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离 散时间系统）称为系统的状态方程。状态方程表征了系统 由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为  或 |
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输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为 或 状态空间表达式：状态方程与输出方程的给合称为状态空间表达式，又称动态方程，其一般形式为  |
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自治系统：若在系统的状态空间表达中，函数f和g均不显含时间t或tk，则称该系统为自治系统，其状态空间表达式的一般形式为 本文来自www.eadianqi.com  线性系统：若在系统的状态空间表达式中，f和g均是线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。 线性系统状态空间表达式：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。 |
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线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为 对于线性离散时间系统，常取tk=kT（T为采样周期），其状态空间表达式的一般形式可写为  自动控制网www.eadianqi.com版权所有 若状态x、输入u、输出y的维数分别为n,p,q,则称n*n矩阵A(t)及G(k)为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵，称n*p矩阵B(t)及H(k)为控制矩阵或输入矩阵，称q*n矩阵C(t)及C(k)为观测矩阵或输出矩阵, |
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称q*p矩阵D(t)及D(k)为前馈矩阵或输入输出矩阵。 线性定常系统：在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵A(t),B(t),C(t),D(t)或G(k),H(k),C(k),D(k)的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则为线性 时变系统。线性定常系统状态空间表达式的一般形式为  当输出方程中D=0时，系统称为绝对固有系统，否则称为固有系统。 |
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线性系统的结构图：线性系统的状态空间表达式常用结构图表示。线性连续时间系统的结构图如下 左图所示，线性离散时间系统的结构图如下右图所示。每一方块的输入－输出关系规定为输出向量=（方 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 块所示巨阵）*（输入向量）  |
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| 状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控制等。 | |||||||||||||||||||||||||||
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4、线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式的方法主要有两种：一直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式；二是 由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。 （1）根据系统机理建立状态空间表达式 通过例题来介绍根据系统机理建立线性定常连续系统状态空间表达式的方法。 |
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例：试列写如下图所示RLC网络的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的状态空间表达式，并就所选状态变量间的关系进行讨论。 本文来自www.eadianqi.com 解：根据电路定律可列写如下方程：  电路输出量为  |
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1）设状态变量 ，则状态方程为 输出方程为y=X2其向量－矩阵形式为  |
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3）设状态变量 ，则 可见，系统的状态空间表达式不具有惟一性。选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，但它们都了同一系统。可以推断，描述同一系统的不同状态空间之间一定存在着某种线性变换关系。 |
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现研究本例题中两组状态变量之间关系。设 ，则有  其相应的向量－矩阵形式为 其中 本文来自www.eadianqi.com 以上说明只要令 ，p为非奇异变换矩阵，便可将 变换为 。 |
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（2）由系统微分方程建立状态空间表达式 按系统输入量中是含有导数项来分别研究。 1）系统输入量中不含导数项。 这种单输入－单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为  由于给定n个初值  及 的u(t)时，可惟一确定t>0时系统的行为，可选取个状态变量为 |
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 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 按上式绘制的结构图称为状态变量图，见下张图。每个积分器的输出都是对应的状态变量，状态方程由各积分器的输入－输出关系确定，输出方程在输出端获得。 |
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2）系统输入量中含有导数项。 这种单输入－单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为   一般输入导数项的次数小于或等于系统的阶数n。首先研究的情况。为了避免在状态方程中出现输入导数项，可按如下规则选择一组状态变量，设  |
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当bn=0时，我们可以令上述公式中的h0=0得到所需要的结果，也可按如下规则选择另一组状态变量。设 故有n-1个状态方程，对求x1导数且考虑前面，经整理有 则bn=0时的动态方程为 |
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例：设二阶系统微分方程为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有  试求系统状态空间表达式。 解：设状态变量  故有  对求x2导数且考虑x1,x2及系统微分方程有   令  项的系数为零可得 故  本文来自www.eadianqi.com 系统的状态空间表达式为  |
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（3）由系统传递函数建立状态空间表达式上面 2）所对应的系统传递函数为  应用综合除法有  式中bn是直接联系输入、输出量的前馈系数，当G(s)的分母次数大于分子次数时，bn=0，  是严格有理真分式，其系数由综合除法得到为  |
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下面介绍由 导出几种标准形式动态方程的方法。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 1） 串联分解的情况。将分解为两部分相串联。如下张图所示，Z为中间变量，Z,Y应满足   |
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输出方程为 其向量－矩阵形式的动态方程为  式中  自动控制网www.eadianqi.com版权所有 上述A阵又称友矩阵，若状态方程中A,B的具有这种形式， 则称为可控标准型. |
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当 时，A,b的形式不变， 。当  时，A,b不变， 。串联分解时的可控标准型状态变量图如下图所示。 当bn=0时，若按前述方法选取状态变量，则系统的A,b,c矩阵为  本文来自www.eadianqi.com 此处A阵是友矩阵的转置。若动态方程中A,c的具有这种形式，则称为可观测标准型。可见，可控标准型与可观测 标准型的各矩阵之间存在如下关系（对偶关系 ）：  |
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2）只含单实极点时的情况。 此时除了可化为上述可控标准型或可观测标准型动态方程以外，还可化为对角形动态方程，其A阵是一个对角阵。 设D(s)可分解为  则传递函数可展成部分分式之和  而  ，为在极点 处的留数，且有 |
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若令状态变量 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 其反变换结果为  展开得  |
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其向量－矩阵形式为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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进行反变换并展开有 其向量－矩阵形式为  状态变量图如前图（b）所示。显见两者之间存在对偶关系。 3）  含重实极点时的情况。当传递函数除含单实极点之外含有重实极点时，不仅可化为可控、可观测标准型，还可化约当标准型动态方程，其A阵是一个含约当块的矩阵。设D(s)可分解为  本文来自www.eadianqi.com 则传递函数可展成下列部分分式之和：  其状态变量的选取方法与只含单实极点时相同。 可分别得出向量－矩阵形式的动态方程：   |
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 可见两者之间也存在对偶关系。 |
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5、线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次状态方程的解状态方程  称为齐次状态方程，通常采用幂级数法和拉普拉斯变法求解。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 1）幂级数法 设上述状态方程式的解t是的向量幂级数  式中  都是n维向量，则 令上式等号两边的同次项的系数相等，则有  且  ，故 定义 自动控制网www.eadianqi.com版权所有  则  称  为矩阵指数函数，简称矩阵指数。由于x(t)由x(0)转移而来，对于线性定常系统，又称为状态转移矩阵，记为 ，即 |
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2）拉普拉斯变换法 将方程取拉氏变换有  则  自动控制网www.eadianqi.com版权所有 进行拉氏反变换有  与前面相比有  这里给出了 的闭合形式，说明了所示级数的收敛性。从上述分析可知，求解齐次状态方程的问题，就是计算状态方程转移矩阵的问题，因而有必要研究 的运算性质。（2）状态转移矩阵的运算性质 重写状态转移矩阵的幂级数展开式  具有如下运算性质：  |
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7） 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 8）若AB=BA，则  ；若  ，则 9）若  为 的状态转移矩阵，则引入非奇异变换后的状态转移矩阵为  10）两种常见的状态转移矩阵。 设  ，即A为对角阵，且具有互异元素，则 本文来自www.eadianqi.com 设A阵为约当阵  则 用幂级数展开式即可证明上式. 例：设系统的状态方程为  试求状态转移矩阵及状态方程的解。 解：由于本例是线性定常系统，故状态转移矩阵可写作  自动控制网www.eadianqi.com版权所有 此题中  因而有  本文来自www.eadianqi.com
状态方程的解为 例：设系统状态方程为  试求状态方程的解。 解：用拉氏变换求解   （3）非奇次状态方程的解 状态方程  称为非奇次状态方程，有如下两种解法：1）积分法 本文来自www.eadianqi.com 由上式可得  由于 积分可得  式中第一项是对初始状态的响应，第二项是对输入作用的响应。若取t0作为初始时刻，则有  2）拉普拉斯变换法 将方程两端取拉氏变换，有   自动控制网www.eadianqi.com版权所有 进行拉氏反变换有  由拉氏变换卷积定理  在此将  视为 ，将BU(s)视为 ，则有    本文来自www.eadianqi.com 故   6、系统的传递函数矩阵 对于多输入－多输出系统，需要讨论传递函数矩阵。 （1）定义及表达式 初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。设系统动态方程为
令初始条件为零，进行拉氏变换，有 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
本文来自www.eadianqi.com 解： 已知    （2）开环与闭环传递矩阵 设多输入－多输出系统结构图如下所示。图中u,y,z,e分别为输入、输出、反馈、偏差向量；G,H分别为前向通路和反馈通路的传递矩阵。由图可知 Z(s)=H(s)Y(s)=H(s)G(s)E(s)
由于  则  定义输入向量至输出向量之间的传递矩阵为闭环传递 矩阵，记为φ(s)，则  它描述了U(s)至Y(s)之间的传递关系。 由于  则  定义输入向量至偏差向量之间的传递矩阵为偏差传递 矩阵，记为 φe(s)，则  它描述了U(s)至E(s)之间的传递关系。
（3）解耦系统的传递矩阵 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 工程中常希望实现某一输出量仅受某一输入量的控制，这种控制方式称为解耦控制，其相应的系统称为解耦系统。解耦系统的输入向量和输出向量必有相同的维数，传递矩阵必为对角阵，即  可以看出，解耦系统是由个独立的单输入－单输出系统组成， 为了控制每个输出量，  不得为零，即解耦系统的对角化传递矩阵必须是非奇异的。在系统中引入适当的校正环节使传递矩阵对角化，称为解耦。下面仅介绍适用于线性定常连续系统的两种简单解耦方法。1）用串联补偿器Gc(s)实现解耦。 系统结构图如图所示。 本文来自www.eadianqi.com
 引入Gd(s)后解耦系统的闭环传递矩阵为  由上式可得 
按此设计前馈补偿器可使系统解耦。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
若将A阵写为友矩阵，便可得到可控标准型实现的状态方程 本文来自www.eadianqi.com
2）多输入－单输出系统传递矩阵的实现 设p维输入、单输出系统的结构如下所示，系统由p个独立子系统组成，系统输出由子系统输出合成为
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7、线性离散系统状态空间表达式的建立及其解 （1）由差分方程建立动态方程 单输入－单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为  式中，k表示kT时刻；T为采样周期；y(k),u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量。考虑初始条件为零时的Z变换关系有
 简记为  式中G为友矩阵；G,h为可控标准型。 线性定常多输入－多输出离散系统的动态方程为
  离散化系统的输出方程仍为  本文来自www.eadianqi.com  例： 已知连续时间系统的状态方程为  设T=1，试求相应的离散时间状态方程。 解： 由前例已知该连续系统的状态转移矩阵为
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