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离散系统的数学模型

时间:2014-11-12 11:01来源:www.eadianqi.com 编辑:自动控制网
1、离散系统的数学定义 将输入序列r(n),n=0,+/-1,+/-2,A, 变换为输出序列c(n)的一种变换关系,称为离散系统。记作c(n=F[r(n)]) 如果上式所示的变换关系是线性的,则称为线性离散系统; 如果这种变换关系是非线性的,则称为非线性离散系统。 ⑴线性离散系统
   1、离散系统的数学定义
    将输入序列r(n),n=0,+/-1,+/-2,A, 变换为输出序列c(n)的一种变换关系,称为离散系统。记作c(n=F[r(n)])
    如果上式所示的变换关系是线性的,则称为线性离散系统;
    如果这种变换关系是非线性的,则称为非线性离散系统。

    ⑴线性离散系统
    如果离散系统满足叠加原理,则称为线性离散系统,即有如下关系式

    ⑵线性定常离散系统
    输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统,称为线性定常离散系统。

    2、线性常系数差分方程及其解法
    线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述:
    或表示为
    常系数线性差分方程的求解方法有经典法、迭代法和Z变换法,这里仅介绍工程上常用的后两种解法。

    ⑴ 迭代法
    若已知差分方程,并且给定输出序列的初值,则可以利用递推关系,在计算机上一步一步地算出输出序列。 本文来自www.eadianqi.com
    例7-16 已知差分方程 c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)输入序列r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(1)=1 ,试用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,A,10。
    解 根据初始条件及递推关系,得
    C(0)=0
    C(1)=1
    C(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6
    C(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25
    C(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90
    C(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=301
    C(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=966
    C(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=3025
    C(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=9330
    C(9)=r(9)+5c(9)-6c(8)=86526
    ⑵ Z变换法
    利用Z变换的实数位移定理,得到以Z为变量的代数方程,然后对代数方程的解C(z)取Z反变换,求得输出序列c(k)。
    例 试用变换法解下列二阶差分方程
    3、脉冲传递函数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
    ⑴ 脉冲传递函数定义
    设开环离散系统如下图所示,线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比,记作
在零初始条件下,线性定常散系统的输出采样信号为
然而,对大多数实际系统来说,其输出往往是连续信号c(t),而不是采样信号c*(t),则在系统输出端虚设一个理想采样开关,它与输入采样开关同步工作,虚设的采样开关是不存在的,它只表明了脉冲传递函数所能描述的,只是输出函数c(t)在采样时刻上的离散值c*(t)。

    ⑵ 脉冲传递函数意义
    输入单位序列:
    单位脉冲响应序列:
    脉冲传递函数的含义是:系统脉冲传递函数G(z),就等于系统加权序列K(nT)的Z变换。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    ⑶ 脉冲传递函数求法
    连续系统或元件的脉冲传递函数G(z) ,可以通过其传递函数G(s)来求取。
    脉冲过渡函数的采样拉氏变换
    例 设某环节的差分方程为c(nT)=r[(n-k)T]试求其脉冲传递函数G(z) 。
    解 对差分方程取Z变换,并由实数位移定理得
    当k=1时,G(z)=z-1,在离散系统中其物理意义是代表一个延迟环节。它把其输入序列右移一个采样周期后再输出。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
    例7-19 设图7-23所示开环系统中的
    试求相应的脉冲传递函数G(z)。
    解 将G(s)展成部分分式
    4、开环系统脉冲传递函数
    ⑴采样拉氏变换的两个重要性质
    1)采样函数的拉氏变换具有周期性,即
其中,ωs为采样角频率。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
    2)若采样函数的拉氏变换E*(s)与连续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化,则E*(s)可以从离散符号中提出来,即
    ⑵有串联环节时的开环系统脉冲传递函数
    1)串联环节之间有采样开关
    设开环离散系统如图(a)所示,由图可得 D(z)=G1(z)R(z) c(z)=G2(z)D(z)
    于是有

    2)串联环节之间无采样开关
    设开环离散系统如图 (b)所示,显然
    显然,G1(z)G2(z)≠G1G2(z)

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    在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时,其总的脉冲传递函数和输出Z变换是不相同的。但是,不同之处仅表现在其零点不同,极点仍然一样。这也是离散系统特有的现象。
    ⑶ 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如下图 (a)所示。
由图(b)可得
    5、闭环系统脉冲传递函数
    下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。
    由上图可见,连续输出信号和误差信号的拉氏变换为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
    需要指出,闭环离散系统脉冲传递函数不能从φ(s)和φ(z)求变换得来,即
    φ(z)≠Z[φ(s)]
    φe(z)≠Z[φe(s)]
    这是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故。

    例 设闭环离散系统结构图所示,试证其闭环脉冲传递函数为
    6、变换法的局限性及修正变换 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
    ⑴变换法的局限性
    ⑵修正变换法
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