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非线性模型的线性化

时间:2015-08-25 18:24来源:www.eadianqi.com 编辑:自动控制网
线性化问题的提出 非线性现象:严格地说,实际物理元件或系统都是非线性的。 机械系统中的高速阻尼器,其阻尼力和速度的平方成反比;齿轮啮合系统由于间隙的存在所导致的非线性传输特性;弹簧的刚度与其形变有关,弹性系数 K 与位移 x 有关,且非常值;电阻

线性化问题的提出

非线性现象:严格地说,实际物理元件或系统都是非线性的。
机械系统中的高速阻尼器,其阻尼力和速度的平方成反比;齿轮啮合系统由于间隙的存在所导致的非线性传输特性;弹簧的刚度与其形变有关,弹性系数 K 与位移 x 有关,且非常值;电阻、电容、电感等值也与周围环境及经过它们的电流有关;具有铁芯的电感,其电流与电压成非线性关系。电动机本身的摩擦、死区等非线性因素也存在。
常用两种处理方法: 忽略不计 取常值 切线法或小偏差法特别适用于具有连续变化的非线性特性函数,其本质是在一个很小的范围内,将非线性特性用一段直线来代替。数学上的处理是取其泰勒展开式的线性项。
线性化
在一定的条件下,对系统作某种近似或缩小系统的工作范围,将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。
1)线性系统的存在是有条件的,只有在一定的工作范围内系统才具有线性特性;
2)非线性系统的分析和综合是非常复杂的;
3)对于实际系统而言,在一定条件下,采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理,能够满足实际需要。 本文来自www.eadianqi.com
非线性数学模型的线性化
1)泰勒级数展开法
对于连续变化的非线性函数 y = f ( x ) 在其平衡点 ( x0 , y0 )附近的泰勒级数展开式为:
切线法或小偏差法 本文来自www.eadianqi.com


略去含有高于一次增量 的项,则
其中
上式即为非线性系统的线性化模型,称为增量方程。y0 = f ( x0 )称为系统的静态方程。
增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点。对于实际系统就是以正常工作状态作为系统运动的起始点,这时,系统所有的初始条件均为零。
对于多变量系统,如 y = f ( x1 , x2),同样可以采用泰勒级数展开式获得线性化的增量方程。

增量方程:
静态方程:

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其中:
系统线性微分方程的建立步骤
1)确定系统各组成元件在平衡状态的工作点;
2)列出各组成元件在工作点附近的增量方程;
3)消除中间变量,得到以增量表示的线性化微分方程。
在线性化处理时要注意以下几点:
1)线性化方程中的参数与选择的工作点有关,工作点不同相应的参数也不同。因此处理时,首先应确定工作点;
2)当输入量变化较大时,用上述方法处理误差较大,注意小范围内 ;
3)如系统在工作点处的非线性性是不连续的,其泰勒级数不收敛,这时上述方法不能用,这种非线性称为本质非线性。
4)本质非线性是不能进行线性化处理的,非本质非线性 在一定条件下可进行线性化处理 。

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