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其相应的单位阶跃响应为

         (3.51)

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图3.15给出了二阶系统的单位阶跃响应曲线。从图中可以看出，二阶系统单位阶跃响应的形式随阻尼比变化的情况，阻尼比越大，响应振荡越弱。反之，阻尼比越小，响应的振荡越强烈。图3.15中的横坐标采用，主要是为了使纵坐标的输出y(t)仅仅成为阻尼比的函数。

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图3.15 二阶系统的单位阶跃响应

3.3.2  二阶系统动态特性性能指标

1.控制系统的动态特性性能指标
控制系统动态特性的优劣，是通过动态特性性能指标来评价的。控制系统动态特性的性能指标通常是按系统的单位阶跃响应的某些特征量来定义的。多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因此我们选择欠阻尼振荡过程为典型代表，来定义动态特性的性能指标，并用这些指标来描述控制系统的动态过程品质。这些指标主要有：上升时间、峰值时间、最大超调量、衰减率、调节时间、振荡频率与周期、振荡次数等。
图3.16是一个典型的欠阻尼振荡过程。它代表了系统的单位阶跃响应。之所以选用单位阶跃响应来定义动态性能指标，是因为阶跃信号变化的突然性具有代表意义。若系统的单位阶跃响应品质良好，对其它信号的响应一般也较好。上升时间。指从动态过程开始到输出第一次达到阶跃响应的稳态值所需的时间。这个指标反映了系统响应的快速性或灵敏程度。
峰值时间。是指瞬态响应达到第一个峰值的时间。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图 3.16 欠阻尼振荡过程

最大超调量。最大超调量定义为 本文来自www.eadianqi.com

         (3.52)

式中是指系统阶跃响应的第一个峰值。是指系统单位阶跃响应的稳态值。最大超调量表示了系统振荡特性的强弱。阻尼系数较小的系统，振荡较强，因而最大超调量也大。最大超调量也表示了控制系统在动态过程中被控对象的输出瞬时上冲得最大程度。这是输出量变化的极值。这一点在控制系统的运行中非常重要。因为系统中某些有一定限制的参数在动态过程中可能会因为超调而越出允许范围。如材料的极限温度、电子元件的击穿电压、瞬时电流，化工生产中化合物的爆炸极限等，这将会造成设备的损坏，影响生产的安全。最大超调量一般也可以简称为超调量。
衰减率和衰减比。衰减率的定义为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

           (3.53)

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式（3.53）中，是瞬态响应曲线上同方向相邻两个波峰值高出稳态值得部分。衰减比的定义是 本文来自www.eadianqi.com

   (3.54)

衰减率和衰减比与超调量一样，反映了系统振荡的强弱，或者说反映了系统的阻尼特性。在化工过程、热工过程的控制中，常用来描述系统克服扰动时的动态特性。在工业生产过程控制中，常常把系统设计成具有75%的衰减率，此时的衰减比为4：1。
调节时间。调节时间也称为调整时间，过渡过程时间。其定义为：从动态过程开始到系统响应进入规定的误差带内并不再超出的时间，即：

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式中指规定的允许误差范围。工业上常取误差的相对值为5%或2%。
此外，延迟时间、振荡次数、振荡周期等也是动态性能指标。这里不再详述。
以上性能指标是按系统单位阶跃响应的特性来定义的。所有的性能指标综合在一起，才能表明控制系统动态特性的品质，因此，称为单向性指标。
控制系统也可以用一个指标来表示系统的动态品质，称为综合性指标。误差准则就是这样一种性能指标。控制系统的特性通过误差的积分来评定。在误差准则中，通常应用的有4种：
平方误差积分准则（ISE) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

          (3.56)

时间乘平方误差积分准则（ITSE)

        (3.57) 本文来自www.eadianqi.com

绝对误差积分准则（IAE)

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        (3.58) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

时间乘绝对值误差准则（ITAE)

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          (3.59)

这些积分准则可以称为目标函数。通过对控制系统可调参数选取，使某种目标函数的值最小，则所选择的这些参数就称为最优参数。按最优参数组成的控制系统就称为最优系统。
2.二阶系统的动态特性性能指标
上升时间：根据上升时间的定义，从（3.44）式可得 本文来自www.eadianqi.com

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因而

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则有 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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所以 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

         (3.60)

峰值时间对式（3.44）式求导 本文来自www.eadianqi.com

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可得 本文来自www.eadianqi.com

       (3.61)

最大超调量，将式（3.61）代入（3.44）式，为简便运算，令K=1则有

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由图3.11可以得出

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因此 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

按最大超调量的定义 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

            (3.62)

用类似的方法，可得到其他性能指标。
衰减率

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       (3.63)

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衰减比n

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调节时间一般取近似表达式；
按2%误差

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            (3.65)

按5%误差

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          (3.66) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

从以上二阶系统的性能指标可以看出，提高，可以提高系统响应的快速性，减小和。增大，可以减弱系统的振荡性能，降低最大超调量。

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例1  控制系统的结构图如图3.17所示，求K=1.62,T=0.5s时，系统的单位阶跃响应表达式及动态性能指标及。
解  系统的闭环传递函数为

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上式中

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系统的单位阶跃响应为 本文来自www.eadianqi.com

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s 本文来自www.eadianqi.com

 s

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s(2%误差） 本文来自www.eadianqi.com

s(5%误差） 本文来自www.eadianqi.com

图3.17 例1的结构图 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

例2  控制系统如图3.18所示。要使该系统单位阶跃响应的最大超调量为25%，峰值时间等于2s,系统中的K和T应为多少？
解  根据得 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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图3.18 例2的控制系统图

例3  已知某单位反馈控制系统的单位阶跃响应是二阶振荡过程，最大超调量为30%，峰值时间为1s，试确定其开环传递函数。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图3.19 单位反馈系统 本文来自www.eadianqi.com

解  对二阶系统由,可得到