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稳定性的概念和定义

时间:2014-12-04 17:29来源:www.eadianqi.com 编辑:自动控制网
1. 运动稳定性的基本概念 为了建立稳定概念,先来看一个直观的例子。 图 3-23( a ) 是一个单摆示意图。假设外界附加一扰动使该系统单摆由原平衡点 a 偏离到点 b 。当外力去掉后,摆在重力作用下,由点 b 回到点 a ,并由于惯性作用,继续向前摆动,直到到达

    1. 运动稳定性的基本概念 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    为了建立稳定概念,先来看一个直观的例子。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    图 3-23( a ) 是一个单摆示意图。假设外界附加一扰动使该系统单摆由原平衡点“ a ”偏离到点“ b ”。当外力去掉后,摆在重力作用下,由点“ b ”回到点“ a ”,并由于惯性作用,继续向前摆动,直到到达点“ c ”。随后,在阻尼作用下,摆围绕“ a ”点作衰减振荡,直到所有能量耗尽,摆最终停留在原平衡点“ a ”。就平衡点“ a ”而言,在干扰作用下,摆发生了偏离,但扰动消失后,经过一定的时间,摆能恢复到原来的平衡点。这样的平衡点“ a ”称为稳定的平衡点。 本文来自www.eadianqi.com

                          

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    如果让摆处于另一平衡点“ d ”,如图 3-23 ( b )所示。显然在扰动作用下,摆会离开平衡点“ d ”,这时,即使扰动消失,无论经过多长时间,摆也不会回到原平衡点“ d ”。这种平衡点称为不稳定平衡点。

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    单摆的这种稳定概念(即无论扰动产生的初始偏差多大,只要扰动消失,系统最终总能回到原平衡点),可以推广至线性系统。而对于用非线性微分方程描述的非线性系统,当扰动产生的初始偏差较小时,扰动消失后,系统可能能回到某一稳定的平衡点;但当扰动造成的初始偏差超过一定范围,即使扰动消失,无论经过多长时间,系统也未必能回到原来稳定的平衡点上。也就是说,线性系统的小范围稳定和大范围稳定是等价的;而非线性系统则不然。小范围稳定的非线性系统不一定大范围稳定。

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    2. 运动稳定性的定义 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    运动稳定性的严格数学定义,首先由俄罗斯学者李雅普诺夫于 1892 年建立,一直沿用至今。有关李雅普诺夫稳定性的数学定义及稳定性定理,将在与本书配套的《现代控制理论》中介绍。本节只根据李雅普诺夫稳定性理论,从系统的输入输出关系出发,分析线性系统的稳定性问题。

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    线性控制系统的稳定性可定义如下:若线性控制系统在初始扰动影响下,其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零(即趋于原平衡点),则称系统渐近稳定,简称稳定;反之,若在初始扰动下,系统的动态过程随时间推移而发散,则称系统不稳定。
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