用状态分析方法分析系统，首要任务是选取状态变量和建立系统的数学模型——状态空间表达式 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

(一)定义 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

1、状态变量： 本文来自www.eadianqi.com

能够完全确定动力学系统运动状态（描述系统时域行为）的最少个数的一组独立变量 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

注：① 完全确定是指状态变量在t=t₀时刻已知时（初始条件），且tt₀时输入给定时，那么系统在任何时刻tt₀时的行为（输出）可完全确定（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解）

②动力学系统的定义抽象且说法不一，比如；可称其为能储存输入信息的系统 本文来自www.eadianqi.com

③ n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量； 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

④ 状态变量不是唯一的，但数目是唯一的；

2、状态矢量

由n个状态变量x₁(t),x₂(t)…x_n(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即

 或

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系统是一些部件的组合，这些部件按照一定的规律组合起来完成某项特定任务的物理系统。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

从信息传递的角度看，控制系统是一个信息传递和加工的装置。它既有接受外部输入信息的能力，又有输出人们所需要信息的能力。

状态是指系统过去、现在、将来的运动状态；是关于系统信息的集合，为了确定系统未来的行为，这些信息是必要的且充分的（不多也不少）。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

3、状态空间和状态轨迹

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状态变量为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。

为状态空间的一个初始点，为状态空间中对应时刻的一个点。当由时在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。 本文来自www.eadianqi.com

4、状态方程

由系统状态变量描述系统时域行为（运动状态）的一阶微分方程组称为状态方程。

[例]  建立如图所示R-L-C网络的状态方程。

解：当给定独立变量和的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选和为状态变量 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

由

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即

写成状态变量的导数在等式左端、状态变量在右端的标准形式，即为

若令  写成矩阵形式

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或 (要适应矩阵表达方法) 本文来自www.eadianqi.com

式中       本文来自www.eadianqi.com

写出状态方程的步骤： 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

①确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数）

②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组 本文来自www.eadianqi.com

③写成状态变量的导数在等式左端、状态变量在等式右端的标准形式。 本文来自www.eadianqi.com

状态变量的选择是从数学上考虑的，并不一定要在物理上是可测的，但是在设计控制器时往往需要用状态变量的信息作为反馈信号，工程上还是尽量选择容易测量的变量

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既然状态是指系统过去、现在、将来的运动状态；是关于系统信息的集合，为了确定系统未来的行为，这些信息是必要的且充分的（不多也不少）。那么，能储存系统过去、现在的运动状态、确定系统将来的运动状态的变量可取做状态变量（储能元件）

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5、输出方程

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反映系统输出与状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应上例，若输出用Y表示，确定作为输出，则输出方程为或 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

写成矩阵形式

或

式中（或） 本文来自www.eadianqi.com

步骤：

①写出输出与状态变量的表达式

②将该表达式写成矩阵形式 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

6、状态空间表达式 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。

7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

如上例 取和为两个状态变量 本文来自www.eadianqi.com

令 

则   即

由电路原理（在原状态方程中消去） 本文来自www.eadianqi.com

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即

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可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只要矩阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。

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 (二)单输入---单输出线性定常系统状态空间表达式的一般形式

线性：各方程都是关于x和u的线性函数。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

定常：各系数均与时间无关。 本文来自www.eadianqi.com

设状态变量为，则状态方程的一般形式为： 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

输出方程式一般有：

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写成向量矩阵形式的状态空间表达式为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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式中         为维状态矢量

  为（）维系统矩阵（反映了系统内部状态的联系） 本文来自www.eadianqi.com

为（）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者控制矩阵（反映了输入对状态的作用） 本文来自www.eadianqi.com

为（）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系）

(三)多输入---多输出线性定常系统的状态空间表达式 本文来自www.eadianqi.com

（如具有个输入，个数出）

状态方程一般为

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输出方程一般为

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其状态空间表达式的矢量矩阵形式为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

式中  和-----同单输入系统，分别为维状态矢量和维系统矩阵 本文来自www.eadianqi.com

-----为维输入（或控制）矢量

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-----为维输出矢量

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-----为维输入（控制）矩阵 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

-----为维输出矩阵 本文来自www.eadianqi.com

-----为维直接传递矩阵（输入直接传递到输出）

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一般地（除特别说明），为简单起见，令，即不考虑输入矢量的直接传递作用。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有