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频率法中对系统稳定性的分析是应用奈奎斯特（Nyquist）判据进行的。奈奎斯特判据 是根据控制系统的开环频率特性判断闭环系统是否稳定的判据。应用奈奎斯特判据，不仅能解决系统是否稳定的问题，而且还能了解系统稳定的程度，并找出改善系统动态特性的途径。因此，奈奎斯特判据是频域分析的基础。
4.5.1映射定理
式中N 是 本文来自www.eadianqi.com
4.5.2 奈奎斯特判据 本文来自www.eadianqi.com
根据控制系统的稳定的充分必要条件，若系统稳定，则s 平面右半边没有闭环极点，既没有特征方程的根。 特征方程的根就是函数F(s)的 零点。F(s)的极点则与开环传递函数的极点相同。若F(s)曲线是已知封闭曲线
1. 奈奎斯特轨迹 本文来自www.eadianqi.com
奈奎斯特轨迹是s 平面上的一条封闭曲线，而与之对应的函数 当s趋近于无穷大时，由于开环传递函数分母的阶次n一般都大于分子的阶次m，所以有 本文来自www.eadianqi.com
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若n>m，则上面的常量为1，若n=m，则为其他常量。总之,s平面上奈奎斯特轨迹的无穷大半圆在 本文来自www.eadianqi.com
当动点s在奈奎斯特轨迹上的另一部分，即整个虚轴上由负无穷大向无穷大变化时，由于
其中的 本文来自www.eadianqi.com
若已知
函数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 当开环传递函数含有积分环节时，例如 本文来自www.eadianqi.com
有一个s=0的极点，这个极点正好位于奈奎斯特轨迹上，违反了封闭曲线C 不能有奇点的规定。为了解决这个问题，我们用一个半径为无穷小的半圆从右面绕过原点，如图4.21 所示。这样，除了原点之外奈奎斯特轨迹仍然包围s平面右半边，无穷小半原在开环频率特性的复平面上，即
2. 奈奎斯特判据
奈奎斯特判据： 例4 控制系统的开环传递函数为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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判断该系统的稳定性。
开环传递函数在s平面右半边无极点，即P=0， 例5 控制系统的开环传递函数为 本文来自www.eadianqi.com
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判断当K=2和K=20时系统的稳定性。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
由于开环传递函数中含有积分环节，所以奈奎斯特轨迹在原点处增加了无穷小半圆。 本文来自www.eadianqi.com
s从
图4.23的开环频率特性不包围 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
特征根均具有负实部，和应用奈奎斯特判据的结论完全一致。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
图4.24的开环频率特性包围了 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
特征方程的共轭负数根具有正实部，从而验证了奈奎斯特判据。 本文来自www.eadianqi.com
判断系统的稳定性。
本例中P=0, 例7 已知控制系统的开环传递函数为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
判断闭环系统的稳定性。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
解 该系统的开环频率特性如图4.26所示。
判断开环频率特性包围 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
若开环频率特性顺时针包围 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
3。 用对数频率特性分析系统的稳定性。
在极坐标图上，以原点为圆心的单位圆，因其模为1，对应于对数幅频特性的零分贝点，其相角均为
对于开环传递函数在s平面右半边无极点的系统（称为开环稳定），若系统开环对数副频特性在穿越0dB线时，所对应的对数相频特性曲线的相位角大于
4.5.3 相对稳定性 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
图4.27是一个控制系统的开环频率特性的局部(P=0).当系统的K较小时，开环频率特性曲线不包围 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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与之对应，该封闭曲线
是曲线C的映射。如果s平面上的封闭曲线C 内部包含了F(s)的P 个极点和Z 个零点，且动点s 是沿顺时针方向在封闭曲线上变化的，则在F(s)平面上相应的封闭曲线 包围坐标原点的周数和方向可以表示为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
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包围原点的周数，若N>0，则表示
顺时针包围F(s) 平面的原点，若N<0 ，则
逆时针包围F(s)平面的原点，若N=0，则
不包围F(s)平面的原点。这里不对映射原理进行证明。对此有兴趣的读者可以参阅其他有关书籍。 
(4.41) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
，则可以确定F(s)包围原点的周数及包围原点的的方向.又因为F(s)与开环传递函数的极点相同，所以可以根据开环传递函数确定s平面上封闭曲线C所包含的F(s)极点数P。按照映射原理，s平面上的封闭曲线C所包含的F(s)的零点数即可确定。问题的关键是在s平面上找到一条能包围整个s平面的右半边的封闭曲线。这条曲线就是奈奎斯特轨迹。 本文来自www.eadianqi.com 
的任何零点和极点。 
在
复平面上是一条什么样的封闭曲线呢？我们把奈奎斯特轨迹划分为两部分：一部分是半径为无穷大的半圆；另一部分是整个虚轴。现在来分析这两部分在
平面上的映射。 
常量 
平面上的映射是实轴上的一个点。 
，所以有 
正是开环频率特性。所以，可以说奈奎斯特轨迹在
的映射就是开环频率特性。 
包围
平面原点的周数及方向N，又知道奈奎斯特轨迹所包围的开环传递函数的极点数P，则位于s平面右半边特征方程的根的个数Z即可根据映射定理计算出来，系统的稳定性也随之确定了。 
构成的复平面与开环频率特性
构成的复平面，实轴坐标仅差1.
平面上封闭曲线对原点的包围就是
平面上对
点的包围。为了简便，在我们绘制出开环频率特性以后，不必再转为
函数，直接使用开环频率特性判断系统是否稳定就可以了。 
平面上的映射唯一无穷大圆弧段。 本文来自www.eadianqi.com 
从负无穷大连续变化到正无穷大时，
平面上的开环频率特性曲线不包围
点，否则系统不稳定。若
，闭环系统稳定的充分必要条件是当
从负无穷大变化到正无穷大时，
平面上的开环频率特性曲线逆时针方向包围
点P周。 
曲线不包围
点，所以系统稳定。 本文来自www.eadianqi.com 
从原点右侧绕到
，当
时，该无穷小半圆在开环频率特性上是无穷大半圆弧，如图中虚线所示。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
点，而本例中P=0，所以系统稳定。求解特征方程，可得到特征方程的根为 
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点（顺时针方向，2周）而P=0，根据奈奎斯特判据，系统是不稳定的。求解特征方程可得 
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和
的取值有关。不同情况下的开环频率特性如图4.25所示。 
时，开环频率特性不包围
点，系统稳定。
时，开环频率特性正好通过
点，说明系统处于临界稳定状态，闭环极点位于虚轴上。
时，开环频率特性顺时针方向包围
点两周，系统不稳定。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
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点一周，根据奈奎斯特判据，此系统稳定。 本文来自www.eadianqi.com 
点的方法是假设一个起点在
点。矢端在开环频率特性曲线上的矢量。当
从
变化到
时，该矢量的副角变化量与
之比即为包围
点的周数。 
点，系统总是不稳定的。 
.所以负实轴对应于对数相频特性的
线。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
（绝对值大于180），则闭环系统稳定，否则不稳定。 
点。继续增大K，开环频率特性曲线仍未包围
，系统还是稳定的。但开环频率特性曲线更靠近
点。我们说它的稳定程度不如前者。再增大K，开环频率特性曲线通过
点，系统处于临界稳定状态。随着K的继续增大，开环频率特性曲线包围了
点，系统变成了不稳定系统。图4.27 表明，对于稳定的系统，开环频率特性曲线越靠近
点，系统的稳定程度越低。对于不稳定的系统，开环频率特性曲线离
点越远，不稳定程度越大。 