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PID控制系统的稳定性

时间:2021-06-04 07:50来源:www.jiachangcai123.com 编辑:自动控制网
在学术上,控制的稳定性基本就是渐进稳定性,BIBO稳定性是没有办法证明渐进稳定性时的退而求其次的东西,不怎么上台面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面:一个当然是渐进稳定性,不光逐渐稳定下来,而且向设定值收敛;另一个

在学术上,控制的稳定性基本就是渐进稳定性,BIBO稳定性是没有办法证明渐进稳定性时的“退而求其次”的东西,不怎么上台面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面:一个当然是渐进稳定性,不光逐渐稳定下来,而且向设定值收敛;另一个则是稳定性,但不一定向设定值收敛,或者说稳定性比收敛性优先这样一个情况。后者的情况就是需要PID控制系统稳定在还算靠谱的位置就可以了,多少接近设定值就行,要紧的是不要动来动去,是不是正好在设定值反而并不是太重要。这样的例子有很多,比如反应器的压力是一个重要参数,反应器压力不稳定,进料一会儿打得进去,一会儿打不进去,原料进料比例就要乱套,催化剂进料也不稳定,反应就不稳定。但是反应器的压力到底是2MPa还是2.5MPa并没有太大的关系,只要慢慢地但又稳定地向设定值收敛就足够了。这是PID控制理论里比较少涉及的一个情况,但这也是工业上时常采用积分主导的控制的一个重要原因。

系统的频率就是系统响应持续振荡时的频率,但是控制领域里有三拨人在倒腾:一拨是以机电类动力学系统为特色的电工出身,包括航空航天、火力控制、机器人等;一拨是以连续过程为特色的化工出身的,还包括冶金、造纸、化纤等;还有一拨是以微分方程稳定性为特色的应用数学出身的。在瓦特和抽水马桶的年代里,各坐各的山头,井水不犯河水,倒也太平。但控制从艺术上升为理论后,总有人喜欢“统一”各个山头。在控制理论的三国大战中,电工帮抢了先,好端端的控制理论里被塞进了电工里的频率。可是啊可是,这哪是频率啊,这是......复频率。既然那些“变态”的电工党能折腾出虚功率来,那他们也能折腾出复频率来。他们自虐倒也算了,只是苦了无辜之众,从此被迫受此精神折磨。 本文来自www.eadianqi.com

事情的缘由是系统的稳定性。前面提到,PID参数如果设得不好,系统可能不稳定。除了摸索,有没有办法从理论上计算出合适的PID参数呢?有的。动态过程可以用微分方程描述,其实在PID的阶段,这只是微分方程中很狭窄的一支:单变量定常系数线性常微分方程。要是还记得一点高数,一定还记得线性常微的解,除了分离变量法什么的,如果自变量时间用t表示的话,最常用的求解还是把eλt代入微分方程,然后解λ的代数方程(正式称呼是特征方程),解出来的就是特征根。这可以是实数,也可以是复数。是复数的话,微分方程的解就要用三角函数展开了(怎么样,当年噩梦的感觉找回来一点没有)。实数根整个都是实部。复数根可以分解为实部和虚部,只要所有特征根的实部为负,那微分方程就是稳定的,因为负的指数项最终随时间向零收敛。虚部到底有多大就无所谓了,对稳定性没有影响,但对振荡频率有影响。但是,这么求解分析起来还是不容易,还是超不出“具体情况具体分析”,难以得出一般的结论。

如今法国排不进第一世界了,再自豪的法国人都不敢自称超级大国,但当年法国人是很牛的,除了凡尔赛宫和法国大餐外,还有很多厉害的数学家。其中一个叫拉普拉斯的家伙,捣鼓出一个拉普拉斯变换,把常微分方程变成s的多项式。拉普拉斯变换是数学变换的一种,而数学变换是数学世界里一个十分精妙的游戏。还记得尼古拉斯·凯奇主演的电影《国家财富》吗,淘宝人发现了一副奇妙的彩色偏振镜片,用不同组合,可以在《独立宣言》原稿背面看出不同的寻宝线索。这当然是骗票房的东西,但数学变换好比这彩色偏振镜片,从一个看似一堆混沌的东西里换一个角度去看,再换一个角度去看,可以看出很多奥妙来,尤其是结构性的特征。用拉普拉斯变换处理常微分方程也是这个意思,可以从看似无从入手的常微分方程里,提出与稳定性相关的特征信息来。对描述动态过程的微分方程施加拉普拉斯变换后,微分方程就变成了传递函数,这是经典控制理论的基础。这里面的数学细节说起来比较啰唆,还是留给严谨的教科书吧。

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