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绘制常规根轨迹的基本法则

时间:2014-12-29 16:16来源:www.eadianqi.com 编辑:自动控制网
纯粹用试验点的办法手工作图,工作量是十分巨大的,而且对全貌的把握也很困难,于是人们研究根轨迹图的基本法则,以便使根轨迹绘图更快更准。以开环根轨迹增益 为参变量的根轨迹图主要有下列基本法则: 1)根轨迹的条数、连续性和对称性 根轨迹的条数=闭环极
  纯粹用试验点的办法手工作图,工作量是十分巨大的,而且对全貌的把握也很困难,于是人们研究根轨迹图的基本法则,以便使根轨迹绘图更快更准。以开环根轨迹增益为参变量的根轨迹图主要有下列基本法则:
  1)根轨迹的条数、连续性和对称性
  根轨迹的条数=闭环极点个数=开环极点个数
  根轨迹具有连续性
  根轨迹对称于实轴
  2)根轨迹的起点和终点
  根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。
  3)根轨迹的渐近线
  如上所说,当n>m时,根轨迹一定有n-m条趋向无穷远;当n<m时,根轨迹一定有m-n条来自无穷远。根据无穷远处s→∞的特点可以证明:当n≠m时,根轨迹存在|n-m|条渐近线,且渐近线与实轴的夹角为:
  
  所有渐近线交于实轴上的一点,其坐标为
  
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  4)实轴上的根轨迹
  实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段,对于其中任一段,如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数,那么该段就一定是根轨迹的一部分。
  5)根轨迹的分离角与分离点d
  当从零变到无穷大时,根轨迹可能出现先会合后分离,这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。
  
  分离点d是下列代数方程的解:
  必须说明的是,方程只是必要条件而非充分条件,也就是说它的解不一定是分离点,是否是分离点还要看其它规则。
  分离角
  l为分离的各轨迹条数
  6)根轨迹的起始角和终止角
  根轨迹离开开环复数极点的切线与正实轴的夹角称为起始角
  根轨迹进入开环复数零点的切线与正实轴的夹角称为终止角
  用相角条件
  根轨迹离开开环复数极点pi的起始角为: 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
  
  根轨迹进入开环复数零点zi 的终止角为:
  
  7)根轨迹与虚轴的交点
  根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点,该点的坐标jω和增益K*是很重要的,将s=jω代入闭环特征方程,令特征方程的实部和虚部分别等于零,可以解出ω和 。用劳思判据也可以求得
  
  8)闭环极点和
  当n-m≥2时,无论取何值,开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。
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